matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenStetigkeitBanachscher Fixpunktsatz
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Stetigkeit" - Banachscher Fixpunktsatz
Banachscher Fixpunktsatz < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Stetigkeit"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Banachscher Fixpunktsatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:07 So 12.06.2016
Autor: Mathe-Lily

Aufgabe
Gegenbeispiel zu Banachschem Fixpunktsatz:

Sei [mm] M:= (0, \infty) \subset \IR, f: M \to M [/mm] definiert mit [mm] f(x):= \bruch{1}{2}x. [/mm]
Dann gilt [mm] |f(x)-f(y)| = |\bruch{1}{2}x-\bruch{1}{2}y| = \bruch{1}{2} |x-y| \forall x, y \in M [/mm]
Daraus folgt f ist Kontraktion, also müsste nach dem Banachschen Fixpunktsatz f genau einen Fixpunkt haben.
Aber f ist eine Gerade durch den Ursprung, hat also keinen Fixpunkt in (0, [mm] \infty). [/mm]

Hallo!

Ich glaube die Argumentation verstanden zu haben: Hier wird gezeigt, dass man vorsichtig mit den Voraussetzungen sein muss, bevor man den Satz anwenden kann, denn eine der Voraussetzungen für den Banachschen Fixpunktsatz können nicht erfüllt sein.
Ist das soweit richtig?

Dann stellt sich mir die Frage, welche Voraussetzung nicht erfüllt ist. Ich kam darauf, dass es das sein müsste, dass M kein vollständig metrischer Raum sei. Das heißt es müsste eine Cauchy-Folge [mm] (x_n)_{n \in \IN} [/mm] aus M geben, die keinen Grenzwert in M hat.
Stimmt das?

Wenn ja, wie finde ich so eine Cauchy-Folge?
Wenn nein, was verstehe ich falsch?

Es wäre super, wenn mir hier jemand beim Verständnis helfen könnte!
Liebe Grüße,
Lily

        
Bezug
Banachscher Fixpunktsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:16 So 12.06.2016
Autor: fred97


> Gegenbeispiel zu Banachschem Fixpunktsatz:
>  
> Sei [mm]M:= (0, \infty) \subset \IR, f: M \to M[/mm] definiert mit
> [mm]f(x):= \bruch{1}{2}x.[/mm]
>  Dann gilt [mm]|f(x)-f(y)| = |\bruch{1}{2}x-\bruch{1}{2}y| = \bruch{1}{2} |x-y| \forall x, y \in M[/mm]
>  
> Daraus folgt f ist Kontraktion, also müsste nach dem
> Banachschen Fixpunktsatz f genau einen Fixpunkt haben.
>  Aber f ist eine Gerade durch den Ursprung, hat also keinen
> Fixpunkt in (0, [mm]\infty).[/mm]
>  Hallo!
>  
> Ich glaube die Argumentation verstanden zu haben: Hier wird
> gezeigt, dass man vorsichtig mit den Voraussetzungen sein
> muss, bevor man den Satz anwenden kann, denn eine der
> Voraussetzungen für den Banachschen Fixpunktsatz können
> nicht erfüllt sein.
>  Ist das soweit richtig?

ja


>  
> Dann stellt sich mir die Frage, welche Voraussetzung nicht
> erfüllt ist. Ich kam darauf, dass es das sein müsste,
> dass M kein vollständig metrischer Raum sei. Das heißt es
> müsste eine Cauchy-Folge [mm](x_n)_{n \in \IN}[/mm] aus M geben,
> die keinen Grenzwert in M hat.
> Stimmt das?
>  

ja


> Wenn ja, wie finde ich so eine Cauchy-Folge?

wie wäre es mit einer Nullfolge ?

fred



>  Wenn nein, was verstehe ich falsch?
>  
> Es wäre super, wenn mir hier jemand beim Verständnis
> helfen könnte!
>  Liebe Grüße,
>  Lily


Bezug
                
Bezug
Banachscher Fixpunktsatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:38 So 12.06.2016
Autor: Mathe-Lily

düdüm... das offensichtlichste übersehen ^^ Vielen Dank!

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Stetigkeit"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]