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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Axiome beweisen
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Axiome beweisen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:14 Di 15.04.2014
Autor: pc_doctor

Aufgabe
Die Menge [mm] \IQ (\wurzel{2}) [/mm] = {a [mm] +b\wurzel{2} [/mm] | a,b [mm] \in \IQ [/mm] } zusammen mit der üblichen Multiplikation und Addition von reellen Zahlen bildet einen Körper.
Beweisen Sie die Gültigkeit der Axiome für die multiplikative Gruppe.

Hallo,

ich habe bei Wikipedia nachgeguckt und habe folgende Einzelaxiome:
a*(b*c) = (a*b)*c
a*b = b*a
1 [mm] \in [/mm] K \ {0}  mit 1a = a

Wie muss man nun vorgehen? Also ich habe das so verstanden, dass ich jetzt diese 3 Axiome mit a+b [mm] \wurzel{2} [/mm] beweise. Weiß nicht so recht, was ich machen soll. Wäre dankar für Tipps



        
Bezug
Axiome beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:24 Di 15.04.2014
Autor: fred97


> Die Menge [mm]\IQ (\wurzel{2})[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

= {a [mm]+b\wurzel{2}[/mm] | a,b [mm]\in \IQ[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


> } zusammen mit der üblichen Multiplikation und Addition
> von reellen Zahlen bildet einen Körper.
>  Beweisen Sie die Gültigkeit der Axiome für die
> multiplikative Gruppe.
>  Hallo,
>  
> ich habe bei Wikipedia nachgeguckt und habe folgende
> Einzelaxiome:
>  a*(b*c) = (a*b)*c
>  a*b = b*a
>  1 [mm]\in[/mm] K \ {0}  mit 1a = a

Das hast Du aber schlampig formuliert !

Es fehlt noch

Zu jedem [mm] a\in K\setminus\{0\} [/mm] existiert das multiplikative Inverse [mm] a^{-1} [/mm] mit [mm] $a^{-1}\cdot [/mm] a=1$

>  
> Wie muss man nun vorgehen? Also ich habe das so verstanden,
> dass ich jetzt diese 3 Axiome mit a+b [mm]\wurzel{2}[/mm] beweise.
> Weiß nicht so recht, was ich machen soll. Wäre dankar

Assoziativität:

Nimm x,y,z [mm] \in [/mm]  $ [mm] \IQ (\wurzel{2}) [/mm] $ her und zeige:

     x(yz)=(xy)z.

Wenn Du pfiffig bist, gehts ganz schnell !

Kommutativität:

Nimm x,y [mm] \in [/mm]  $ [mm] \IQ (\wurzel{2}) [/mm] $ her und zeige:

     xy=yz

Wenn Du pfiffig bist, gehts ganz schnell !

Existenz der Eins: na, welches Element $e [mm] \in \IQ (\wurzel{2}) [/mm] $ erfüllt wohl

     ea=a  für alle  $a [mm] \in \IQ (\wurzel{2}) [/mm] $

Beim multiplikativen Inv. bastle doch mal ein wenig.

FRED


> für Tipps
>  
>  


Bezug
                
Bezug
Axiome beweisen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:31 Di 15.04.2014
Autor: pc_doctor

Hallo,

mir fällt leider nichts ein.

Ich meine, was soll ich denn für x,y,z einsetzen ? Die sind [mm] \in \IQ(\wurzel{2}) [/mm] okay, aber ich sehe den roten Faden nicht.

Zum Beispiel bei der Kommut. :
xy = yx. Was setze ich für was ein ?

Bezug
                        
Bezug
Axiome beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:42 Di 15.04.2014
Autor: abakus


> Hallo,

>

> mir fällt leider nichts ein.

>

> Ich meine, was soll ich denn für x,y,z einsetzen ? Die
> sind [mm]\in \IQ(\wurzel{2})[/mm] okay,

Dann gib ihnen auch diese Form!
x ist also "(eine rationale [mm] Zahl)+$\sqrt2$ [/mm] *(eine andere rationale Zahl).
Du musst hier also zwei neue Variablen erfinden (ebenso für y und z).
Gruß Abakus 

> aber ich sehe den roten
> Faden nicht.

>

> Zum Beispiel bei der Kommut. :
> xy = yx. Was setze ich für was ein ?

Bezug
                                
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Axiome beweisen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:53 Di 15.04.2014
Autor: pc_doctor

Danke für die Antworten. Ich sollte doch noch die zweite Vorlesung abwarten.

Bezug
                                        
Bezug
Axiome beweisen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:07 Di 15.04.2014
Autor: abakus


> Danke für die Antworten. Ich sollte doch noch die zweite
> Vorlesung abwarten.

Wieso? Das ist rechentechnisch Anspruchsniveau (höchstens) Klasse 10.
Setzt [mm] x=e+f*$\sqrt2$,  y=g+h*$\sqrt2$, [/mm]   [mm] z=j+k*$\sqrt2$, [/mm]  wobei e,f,g,h,j,k jeweils rationale Zahlen sind.
Und jetzt rechne damit.

Bezug
                                                
Bezug
Axiome beweisen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:28 Di 15.04.2014
Autor: pc_doctor

Hallo abakus,

okay, vielen Dank für die Antwort. Das sollte machbar sein.

Bezug
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