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Aufgabe Binomialkoeffizienten: beweisen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:32 Sa 12.04.2014
Autor: Stinibini

Aufgabe
Sei x [mm] \in \IC [/mm] und n [mm] \in \IN: [/mm]
beweisen sie:
1) 1= [mm] \sum_{k=0}{n}x^{k}*(1-x)^{n-k} [/mm]

Soo. Ich habe mir für diese Aufgabe erstmals wieder einige Sachen zu den Binomialkoeffizienten angeguckt. Aber irgendwie leitet mich das eher zu einem Widerspruch als zu einer Lösung.
Es heißt ja:
[mm] (x+y)^{n}= \sum_{k=0}{n}x^{k}*(x)^{n-k}*y^{k} [/mm]

in unserem Falle existiert ja kein y. Das bedeutet ja, dass y=0 (denn [mm] 0^{k}=0) [/mm]
x ist unserem Fall ja =(1-x)

also müsste doch eigentlich:
[mm] (1-x+0)^{n}= \sum_{k=0}{n}x^{k}*(1-x)^{n-k} [/mm]

also auch:
[mm] (1-x+0)^{n}=1 [/mm]

und das stimmt ja widerum nicht..bzw. kann schon nach Bernoulli gar nicht funktionieren.
Hat irgendjemand eine Idee was ich falsch mache?


LG
PS:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
Aufgabe Binomialkoeffizienten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:21 Sa 12.04.2014
Autor: DieAcht

Hallo Stinibini und [willkommenmr]!


> Sei x [mm]\in \IC[/mm] und n [mm]\in \IN:[/mm]
>  beweisen sie:
>  1) 1= [mm]\sum_{k=0}{n}x^{k}*(1-x)^{n-k}[/mm]

Du meinst:

      [mm] 1=\sum_{k=0}^{n}x^{k}*(1-x)^{n-k} [/mm] für alle [mm] x\in\IC [/mm] und [mm] n\in\IN. [/mm]

>  Soo. Ich habe mir für diese Aufgabe erstmals wieder
> einige Sachen zu den Binomialkoeffizienten angeguckt. Aber
> irgendwie leitet mich das eher zu einem Widerspruch als zu
> einer Lösung.
>  Es heißt ja:
>  [mm](x+y)^{n}= \sum_{k=0}{n}x^{k}*(x)^{n-k}*y^{k}[/mm]

Das ergibt für mich keinen Sinn. Meinst du vielleicht den
binomischen Lehrsatz?

> in unserem Falle existiert ja kein y. Das bedeutet ja, dass
> y=0 (denn [mm]0^{k}=0)[/mm]
>  x ist unserem Fall ja =(1-x)
>  
> also müsste doch eigentlich:
>  [mm](1-x+0)^{n}= \sum_{k=0}{n}x^{k}*(1-x)^{n-k}[/mm]
>  
> also auch:
>  [mm](1-x+0)^{n}=1[/mm]
>  
> und das stimmt ja widerum nicht..bzw. kann schon nach
> Bernoulli gar nicht funktionieren.
>  Hat irgendjemand eine Idee was ich falsch mache?

Es existiert ein "$y$". Hier gilt:

      $1=x+(1-x)$ mit "$y$"$:=1-x$.


Gruß
DieAcht

Bezug
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