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Anzahl der Wendestellen: Verständnis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:36 Sa 12.04.2014
Autor: Frisco

Aufgabe
<br>
 



Hallo,
ich habe eine kleine Frage. Hat eine Funktion 4.ten Grades immer eine gerade Anzahl an Wendestellen?? Wenn ja warum...

        
Bezug
Anzahl der Wendestellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:50 Sa 12.04.2014
Autor: Diophant

Hallo,

die notwendige Bedingung für Wendestellen ist bekanntlich f''(x)=0. Die zweite Ableitung einer ganzrationalen Funktion 4. Ordnung ist bekanntlich auch ganzrational vom Grad 2.

Setze jetzt in Gedanken einen solchen Ableitungsterm gleich Null und überlege, wie viele Lösungen die entstehende Gleichung haben kann. Das sollte deine Frage beantworten.

Gruß, Diophant

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Bezug
Anzahl der Wendestellen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:42 Sa 12.04.2014
Autor: Frisco

Aufgabe
<br>
 


Danke für die Antwort.
Also eine quadratische Gleichung kann bekanntlich eine, zwei oder keine Lösung haben.
Nehmen wir nun den Fall eine Lösung, was bedeuten würde ungerade Anzahl an Wendestellen...
Ich habe mir eine gebastellt.
Sie lautet wie folgt:
[mm]f(x)= \frac{1}{12}x^4- \frac{2}{3}x^3+2x^2-1[/mm]
[mm]f'(x)= \frac{1}{3}x^3- 2x^2+4x[/mm]
[mm]f''(x)= x^2- 4x+4[/mm]
Diese hat bekanntlich die Nullstelle bei x=2,
da es sich aber hierbei um eine doppelte Nullstelle sich handelt ist auch die dritte Ableitung also [mm]f'''(2)= 0[/mm]... Was haben wir nun da?
gut wir haben ein Vorzeichenwechsel in der 2.ten Ableitung für Werte kleiner 2 bzw. Werte größer 2. Also müsste an der Stelle [mm]x_0=2[/mm] ein Wendepunkt sein?!
 

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Anzahl der Wendestellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:03 Sa 12.04.2014
Autor: MathePower

Hallo Frisco,

> <br>
>  
>  
> Danke für die Antwort.
>  Also eine quadratische Gleichung kann bekanntlich eine,
> zwei oder keine Lösung haben.
>  Nehmen wir nun den Fall eine Lösung, was bedeuten würde
> ungerade Anzahl an Wendestellen...
>  Ich habe mir eine gebastellt.
>  Sie lautet wie folgt:
>  [mm]f(x)= \frac{1}{12}x^4- \frac{2}{3}x^3+2x^2-1[/mm]
>  [mm]f'(x)= \frac{1}{3}x^3- 2x^2+4x[/mm]
>  
> [mm]f''(x)= x^2- 4x+4[/mm]
>  Diese hat bekanntlich die Nullstelle bei
> x=2,
>  da es sich aber hierbei um eine doppelte Nullstelle sich
> handelt ist auch die dritte Ableitung also [mm]f'''(2)= 0[/mm]...
> Was haben wir nun da?
>  gut wir haben ein Vorzeichenwechsel in der 2.ten Ableitung
> für Werte kleiner 2 bzw. Werte größer 2. Also müsste an
> der Stelle [mm]x_0=2[/mm] ein Wendepunkt sein?!
>    



Vielmehr ist die 4. Ableitung von f zu untersuchen.
Die 4. Ableitung von f entscheidet dann über das weitere
Vorgehen.


Gruss
MathePower

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Anzahl der Wendestellen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:16 Sa 12.04.2014
Autor: Frisco

Aufgabe
<br>
 


Das verstehe ich nicht...
warum ist das von bedeutung??
[mm]f''''(x)=2[/mm]
und was bedeutet das jetzt??

Bezug
                                        
Bezug
Anzahl der Wendestellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:47 Sa 12.04.2014
Autor: DieAcht

Hallo,


> Das verstehe ich nicht...
>  warum ist das von bedeutung??

Lies dir dazu ruhig mal []hier den Wikipedia-Artikel durch.

>  [mm]f''''(x)=2[/mm]

Ja. [ok]

>  und was bedeutet das jetzt??

Es gilt:

      [mm] $f''(x)=x^2-4x+4\overset{!}{=}0\Longleftrightarrow [/mm] x=2$.

      $f'''(x)=2x-4$

      [mm] $\Rightarrow [/mm] f'''(2)=0$.

Sei

      $g(x):=f'(x)$.

Dann gilt:

      [mm] $g'(x)=0\Longleftrightarrow [/mm] x=2$

und

      $g''(2)=0$.

Notwendiges Kriterium für Sattelpunkt:

      $g'(x)=0$ und $g''(x)=0$.

Hinreichendes Kriterium für Sattelpunkt:

      [mm] $g'''(x)\not=0$. [/mm]

Hier gilt:

      [mm] $g'''(x)=2\not=0$. [/mm]

Also besitzt $g$ einen Sattelpunkt. Was heißt das für $f$?


Gruß
DieAcht

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Anzahl der Wendestellen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:53 Sa 12.04.2014
Autor: Sax

Hi,

$ [mm] f''(x)=x^2-4x+4\overset{!}{=}0\Longleftrightarrow x=\pm [/mm] 2 $.

nicht unbedingt.

Gruß Sax.

Bezug
                                                        
Bezug
Anzahl der Wendestellen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:59 Sa 12.04.2014
Autor: DieAcht

Hallo Sax,


Danke für die Kontrolle. Ich habe es verbessert.


Gruß
DieAcht


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Anzahl der Wendestellen: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) fundamentaler Fehler Status 
Datum: 21:52 Sa 12.04.2014
Autor: abakus


> Hallo Frisco,

>

> > <br>
> >
> >
> > Danke für die Antwort.
> > Also eine quadratische Gleichung kann bekanntlich eine,
> > zwei oder keine Lösung haben.
> > Nehmen wir nun den Fall eine Lösung, was bedeuten
> würde
> > ungerade Anzahl an Wendestellen...
> > Ich habe mir eine gebastellt.
> > Sie lautet wie folgt:
> > [mm]f(x)= \frac{1}{12}x^4- \frac{2}{3}x^3+2x^2-1[/mm]
> > [mm]f'(x)= \frac{1}{3}x^3- 2x^2+4x[/mm]

>

> >
> > [mm]f''(x)= x^2- 4x+4[/mm]
> > Diese hat bekanntlich die
> Nullstelle bei
> > x=2,
> > da es sich aber hierbei um eine doppelte Nullstelle
> sich
> > handelt ist auch die dritte Ableitung also [mm]f'''(2)= 0[/mm]...
> > Was haben wir nun da?
> > gut wir haben ein Vorzeichenwechsel in der 2.ten
> Ableitung
> > für Werte kleiner 2 bzw. Werte größer 2. Also müsste an
> > der Stelle [mm]x_0=2[/mm] ein Wendepunkt sein?!
> >

>
>
>

> Nein, vielnmehr ist die 4. Ableitung von f zu untersuchen.

Das mag im konkreten Fall ein mögliches Vorgehen sein.
Im Allgemeinen ist es völlig korrekt, dass an Wendestellen die zweite Ableitung nicht nur einfach 0 sein muss, sondern an dieser Stelle auch einen Vorzeichenwechsel vollführt.
Hier mit "Nein" zu antworten ist damit einfach mal nicht korrekt.
Gruß Abakus

> Die 4. Ableitung von f entscheidet dann über das weitere
> Vorgehen.

>
>

> Gruss
> MathePower

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