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Anfangswertproblem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:27 Mo 11.09.2017
Autor: Ice-Man

Aufgabe
Überführen Sie mittels Laplace-Transformation das Anfangswertproblem

y''+4y'+4y=5sin(t)

y(0)=0
y'(0)=-1

in den Bildbereich und berechnen Sie die Bildfunktion der Lösungsfunktion.

Hallo,

ich habe bitte eine Frage zu der Problematik.
Aus diesem Grund würde ich einfach mal meinen Rechenweg posten.

[mm] s^{2}Y(s)+1+4sY(s)+4Y(s)=\bruch{5}{s^{2}+1} [/mm]

[mm] Y(s)=\bruch{-s^{2}+6}{(s^{2}+1)(s^{2}+4s+4)} [/mm]

Ist das erst einmal korrekt?

        
Bezug
Anfangswertproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:50 Mo 11.09.2017
Autor: derbierbaron

Hallo,

> $ [mm] s^{2}Y(s)+1+4sY(s)+4Y(s)=\bruch{5}{s^{2}+1} [/mm] $

zu

> $ [mm] Y(s)=\bruch{-s^{2}+6}{(s^{2}+1)(s^{2}+4s+4)} [/mm] $

ist nicht richtig

Gruss
DBb

Bezug
                
Bezug
Anfangswertproblem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:47 Di 12.09.2017
Autor: Ice-Man

Zuerst einmal vielen Dank.
Ich habe da wirklich einen Fehler gemacht.

[mm] s^{2}Y(s)+1+4sY(s)+4Y(s)=\bruch{5}{s^{2}+1} [/mm]

Das sollte doch stimmen, oder?

[mm] Y(s)[s^{2}+4s+4]+1=\bruch{5}{s^{2}+1} [/mm]

[mm] Y(s)[s^{2}+4s+4]=\bruch{5}{s^{2}+1}-1 [/mm]

[mm] Y(s)[s^{2}+4s+4]=\bruch{5}{s^{2}+1}-\bruch{s^{2}+1}{s^{2}+1} [/mm]

[mm] Y(s)[s^{2}+4s+4]=\bruch{5-s^{2}-1}{s^{2}+1} [/mm]

[mm] Y(s)[s^{2}+4s+4]=\bruch{-s^{2}+4}{s^{2}+1} [/mm]

[mm] Y(s)=\bruch{-s^{2}+4}{(s^{2}+1)(s^{2}+4s+4)} [/mm]

[mm] Y(s)=\bruch{-s^{2}+4}{(s^{2}+1)(s+2)(s+2)} [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Anfangswertproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:51 Di 12.09.2017
Autor: fred97


> Zuerst einmal vielen Dank.
>  Ich habe da wirklich einen Fehler gemacht.
>
> [mm]s^{2}Y(s)+1+4sY(s)+4Y(s)=\bruch{5}{s^{2}+1}[/mm]
>  
> Das sollte doch stimmen, oder?
>  
> [mm]Y(s)[s^{2}+4s+4]+1=\bruch{5}{s^{2}+1}[/mm]
>  
> [mm]Y(s)[s^{2}+4s+4]=\bruch{5}{s^{2}+1}-1[/mm]
>  
> [mm]Y(s)[s^{2}+4s+4]=\bruch{5}{s^{2}+1}-\bruch{s^{2}+1}{s^{2}+1}[/mm]
>  
> [mm]Y(s)[s^{2}+4s+4]=\bruch{5-s^{2}-1}{s^{2}+1}[/mm]
>  
> [mm]Y(s)[s^{2}+4s+4]=\bruch{-s^{2}+4}{s^{2}+1}[/mm]
>  
> [mm]Y(s)=\bruch{-s^{2}+4}{(s^{2}+1)(s^{2}+4s+4)}[/mm]
>  
> [mm]Y(s)=\bruch{-s^{2}+4}{(s^{2}+1)(s+2)(s+2)}[/mm]  

Das stimmt. Du kannst noch kürzen, denn [mm] $-s^2+4=(s+2)(-s+2)$. [/mm]




Bezug
                                
Bezug
Anfangswertproblem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:12 Di 12.09.2017
Autor: Ice-Man

Sorry, aber das mit dem kürzen versteh ich gerade leider nicht so richtig.

Denn im Nenner steht doch (s+2)

Wie bekomme ich denn da den Vorzeichenwechsel hin?

Bezug
                                        
Bezug
Anfangswertproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:19 Di 12.09.2017
Autor: fred97

Mühsam .....

$ [mm] Y(s)=\bruch{-s^{2}+4}{(s^{2}+1)(s+2)(s+2)}= \bruch{(s+2)(-s+2)}{(s^{2}+1)(s+2)(s+2)}= \bruch{-s+2}{(s^{2}+1)(s+2)}$ [/mm]

Bezug
                                                
Bezug
Anfangswertproblem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:30 Di 12.09.2017
Autor: Ice-Man

Stimmt, das habe ich leider erst auf den 2.Blick gesehen.

Also könnte ich meinen Lösungsansatz wie folgt beschreiben..

[mm] \bruch{A}{s^{2}+1}+\bruch{B}{s+2} [/mm]

?

Nur da erhalte ich ein Problem.


[mm] \bruch{A}{s^{2}+1}+\bruch{B}{s+2}=\bruch{-s+2}{(s^{2}+1)(s+2)} [/mm]

[mm] A(s+2)+B(s^{2}+1)=-s+2 [/mm]

(für [mm] s^{2}) [/mm]  B=0

(für [mm] s^{1}) [/mm] A=-1

(für [mm] s^{0}) [/mm] 2A+B=2

Das stimmt ja nicht ganz...



Bezug
                                                        
Bezug
Anfangswertproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:40 Di 12.09.2017
Autor: Steffi21

Hallo

[mm] \bruch{Bs+C}{s^2+1}+\bruch{A}{s+2}=\bruch{-s+2}{(s^2+1)*(s+2)} [/mm]

Steffi

Bezug
                                                                
Bezug
Anfangswertproblem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:28 Di 12.09.2017
Autor: Ice-Man

Ok, ganz vielen Dank erst einmal.

Also

[mm] \bruch{Bs+C}{s^{2}+1}+\bruch{A}{s+2}=\bruch{-s+2}{(s^{2}+1)(s+2)} [/mm]

[mm] \bruch{(Bs+C)(s+2)+A(s^{2}+1)}{(s^{2}+1)(s+2)}=\bruch{-s+2}{(s^{2}+1)(s+2)} [/mm]

[mm] As^{2}+A+Bs^{2}+2Bs+Cs+2C=-s+2 [/mm]

(für [mm] s^{2}) [/mm] A+B=0

(für [mm] s^{1}) [/mm] 2B+C=-1

(für [mm] s^{0}) [/mm] A+2C=2

[mm] A=\bruch{4}{5} [/mm]

[mm] B=-\bruch{4}{5} [/mm]

[mm] C=\bruch{3}{5} [/mm]

Bezug
                                                                        
Bezug
Anfangswertproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:35 Mi 13.09.2017
Autor: fred97


> Ok, ganz vielen Dank erst einmal.
>  
> Also
>
> [mm]\bruch{Bs+C}{s^{2}+1}+\bruch{A}{s+2}=\bruch{-s+2}{(s^{2}+1)(s+2)}[/mm]
>  
> [mm]\bruch{(Bs+C)(s+2)+A(s^{2}+1)}{(s^{2}+1)(s+2)}=\bruch{-s+2}{(s^{2}+1)(s+2)}[/mm]
>  
> [mm]As^{2}+A+Bs^{2}+2Bs+Cs+2C=-s+2[/mm]
>  
> (für [mm]s^{2})[/mm] A+B=0
>  
> (für [mm]s^{1})[/mm] 2B+C=-1
>  
> (für [mm]s^{0})[/mm] A+2C=2
>  
> [mm]A=\bruch{4}{5}[/mm]
>  
> [mm]B=-\bruch{4}{5}[/mm]
>  
> [mm]C=\bruch{3}{5}[/mm]  


Alles richtig




Bezug
                                                                                
Bezug
Anfangswertproblem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:36 Mi 13.09.2017
Autor: Ice-Man

Also bedeutet das...

[mm] =\bruch{\bruch{4}{5}}{s+2}+\bruch{-(\bruch{4}{5})s+\bruch{3}{5}}{(s^{2}+1)} [/mm]

ist die Antwort?


Bezug
                                                                                        
Bezug
Anfangswertproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:03 Mi 13.09.2017
Autor: chrisno


> Also bedeutet das...
>  
> [mm]=\bruch{\bruch{4}{5}}{s+2}+\bruch{-(\bruch{4}{5})s+\bruch{3}{5}}{(s^{2}+1)}[/mm]
>  
> ist die Antwort?
>  

ja
nun meine Kritik an Deinem Beiträgen:
Du machst es mir unnötig schwer. Ich muss ein zweites Fenster aufmachen und in dem durch den Thread scrollen. Das liegt daran, dass Du den Term vor dem Gleichheitszeichen weggelassen hast. Dazu noch die Werte von A, B und C, dann wäre deutlich einfacher, das zu kontrollieren.


Bezug
                                                                
Bezug
Anfangswertproblem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:16 Mi 13.09.2017
Autor: Ice-Man

Ich habe dann bitte noch eine Frage zu den Variabeln.
Denn leider ist diese Thematik schon ein wenig länger her.

Woher weis ich das ich im ersten Bruch mit Bs+C rechnen muss und im zweiten Bruch nur mit A?

Ich würde mir das so erklären weil ich im Nenner des ersten Bruchs eine Quadratische Gleichung habe.

Aber ich bin mir leider nicht sicher.

Bezug
                                                                        
Bezug
Anfangswertproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:24 Mi 13.09.2017
Autor: chrisno


> Ich habe dann bitte noch eine Frage zu den Variabeln.
> Denn leider ist diese Thematik schon ein wenig länger
> her.
>  
> Woher weis ich das ich im ersten Bruch mit Bs+C rechnen
> muss und im zweiten Bruch nur mit A?
>  
> Ich würde mir das so erklären weil ich im Nenner des
> ersten Bruchs eine Quadratische Gleichung habe.
>  
> Aber ich bin mir leider nicht sicher.

Der Begriff Gleichung für einen Term im Nenner ist nicht richtig. Ansonsten aber liegst Du richtig:
bei
https://de.wikipedia.org/wiki/Partialbruchzerlegung
steht das in der Einleitung, also noch vor dem Inhaltsverzeichnis.

Bezug
                                                                                
Bezug
Anfangswertproblem: viel näher
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:25 Mi 13.09.2017
Autor: Herby

Hi Chris,

> > Ich habe dann bitte noch eine Frage zu den Variabeln.
> > Denn leider ist diese Thematik schon ein wenig länger
> > her.
>  >  
> > Woher weis ich das ich im ersten Bruch mit Bs+C rechnen
> > muss und im zweiten Bruch nur mit A?
>  >  
> > Ich würde mir das so erklären weil ich im Nenner des
> > ersten Bruchs eine Quadratische Gleichung habe.
>  >  
> > Aber ich bin mir leider nicht sicher.
> Der Begriff Gleichung für einen Term im Nenner ist nicht
> richtig. Ansonsten aber liegst Du richtig:
>  bei
>  https://de.wikipedia.org/wiki/Partialbruchzerlegung
>  steht das in der Einleitung, also noch vor dem
> Inhaltsverzeichnis.

Warum so weit weglaufen, wenn wir schon einmal im Matheraum sind :-)

[guckstduhier]   MBPartialbruchzerlegung


Viele Grüße
[Dateianhang nicht öffentlich]  Herby

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