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Allgemeine lsg berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:41 Di 12.05.2015
Autor: C11H15NO2

Aufgabe
Berechnen der allgemeinen und singulären ( falls vorhanden) Lösung:

2y' - [mm] y^2 [/mm] + y = 0

Hierfür habe ich keine Ahnung, denn in allen DGL's die ich gerechnet habe war auch immer ein x.
Hier bräuchte ich einen Ansatz

Gruß

        
Bezug
Allgemeine lsg berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:13 Di 12.05.2015
Autor: notinX

Hallo,
> Berechnen der allgemeinen und singulären ( falls
> vorhanden) Lösung:
>  
> 2y' - [mm]y^2[/mm] + y = 0
>  Hierfür habe ich keine Ahnung, denn in allen DGL's die
> ich gerechnet habe war auch immer ein x.

wenn es dir besser gefällt, kannst Du die DGL auch so schreiben:
[mm] $2x'-x^2+x=0$ [/mm] oder so:
[mm] $2\dot x-x^2+x=0$ [/mm]
Jetzt hast Du x drin.

>  Hier bräuchte ich einen Ansatz

welche Verfahren zum Lösen von DGLen kennst Du denn?

>  
> Gruß

Gruß,

notinX

Bezug
        
Bezug
Allgemeine lsg berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:50 Di 12.05.2015
Autor: fred97


> Berechnen der allgemeinen und singulären ( falls
> vorhanden) Lösung:
>  
> 2y' - [mm]y^2[/mm] + y = 0

Das ist eine Bernoulli DGL


FRED


>  Hierfür habe ich keine Ahnung, denn in allen DGL's die
> ich gerechnet habe war auch immer ein x.
>  Hier bräuchte ich einen Ansatz
>  
> Gruß


Bezug
                
Bezug
Allgemeine lsg berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:44 Do 14.05.2015
Autor: C11H15NO2

Okay nach Bernoullie würde ichs so rechnen:
sub: u = [mm] \bruch{1}{y} y=\bruch{1}{u} [/mm]
y' = [mm] \bruch{-u'}{u^2} [/mm]
[mm] -2\bruch{u'}{u^2} -\bruch{1}{u^2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{u} [/mm] = 0

umformen liefert:
u' = [mm] \bruch{u}{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} [/mm]
dx = ( [mm] \bruch{2}{u} [/mm] - 2 ) du
integral lösen:
2 ln |u| - 2 u = x + ln |c|               [mm] \pm [/mm] c -> K
...umformen...
u = [mm] \wurzel{e^{x+2}K} [/mm]
u' = ...
bringt mich nicht weiter

Bezug
                        
Bezug
Allgemeine lsg berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Do 14.05.2015
Autor: notinX

Warum schreibst Du das als Mitteilung? Ich unterstelle mal, dass Du Dir eine Antwort wünschst. Über dem 'Senden' Button steht in roter Fettschrift: "erwarte auf diesen Mitteilungsartikel keine Reaktion". Du solltest im eigenen Interesse eine Frage und keine Mitteilung stellen, wenn Du eine Antwort erwartest.


> Okay nach Bernoullie würde ichs so rechnen:
>  sub: u = [mm]\bruch{1}{y} y=\bruch{1}{u}[/mm]

nach Bernoulli solltest Du [mm] $u(x)=\frac{1}{y(x)}$ [/mm] substituieren

>  y' =
> [mm]\bruch{-u'}{u^2}[/mm]
>  [mm]-2\bruch{u'}{u^2} -\bruch{1}{u^2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{u}[/mm] = 0

warum y'=0 sein soll verstehe ich nicht.

>  
> umformen liefert:
>  u' = [mm]\bruch{u}{2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}[/mm]

[ok]

>  dx = ( [mm]\bruch{2}{u}[/mm] - 2 ) du

[notok]
Hier ist was schief gelaufen. Rechne das nochmal nach.

>  integral lösen:
>  2 ln |u| - 2 u = x + ln |c|               [mm]\pm[/mm] c -> K

>  ...umformen...
>  u = [mm]\wurzel{e^{x+2}K}[/mm]
>  u' = ...
>  bringt mich nicht weiter

Gruß,

notinX

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Bezug
Allgemeine lsg berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:28 Sa 16.05.2015
Autor: C11H15NO2

okay hier komme ich jetzt auf das gleiche.

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Bezug
Allgemeine lsg berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:13 Di 12.05.2015
Autor: HJKweseleit


> Berechnen der allgemeinen und singulären ( falls
> vorhanden) Lösung:
>  
> 2y' - [mm]y^2[/mm] + y = 0
>  Hierfür habe ich keine Ahnung, denn in allen DGL's die
> ich gerechnet habe war auch immer ein x.
>  Hier bräuchte ich einen Ansatz
>  
> Gruß

Schreibe  [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] für y'  , also [mm]2\bruch{dy}{dx} - y^2 + y = 0 [/mm], also [mm]2\bruch{dy}{dx} = y^2 - y [/mm], also [mm]2dy =(y^2 - y)dx [/mm], also [mm]2\bruch{dy}{y^2 - y} = dx [/mm].

Jetzt integrierst du beide Seiten (links: Formelsammlung oder per Partialbruchzerlegung), das Ergebnis stellst du wieder nach y um.  Wie findest du die Singularitäten?

(Allgemeine Lösung zur Kontrolle:y = [mm] \bruch{1}{1-ae^{x/2}}). [/mm]

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Bezug
Allgemeine lsg berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:57 Do 14.05.2015
Autor: C11H15NO2

Hier komme ich auf
y = [mm] \bruch{1}{1 - e^{x/2}} [/mm]
... Die Konstante hat sich ja weg gekürzt.
Sonst hab ich immer durch integration von K'(x)  K(x) ermittelt und dann eingesetzt

Bezug
                        
Bezug
Allgemeine lsg berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:25 Do 14.05.2015
Autor: notinX


> Hier komme ich auf
>  y = [mm]\bruch{1}{1 - e^{x/2}}[/mm]

Das ist eine spezielle Lösung, aber nicht die allgemeine.

>  ... Die Konstante hat sich ja
> weg gekürzt.

Nein, hat sie nicht.

>  Sonst hab ich immer durch integration von K'(x)  K(x)
> ermittelt und dann eingesetzt

Was soll $K'(x)$ sein?

Gruß

notinX

Bezug
                        
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Allgemeine lsg berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:05 Do 14.05.2015
Autor: HJKweseleit


> Hier komme ich auf
>  y = [mm]\bruch{1}{1 - e^{x/2}}[/mm]
>  ... Die Konstante hat sich ja
> weg gekürzt.
>  Sonst hab ich immer durch integration von K'(x)  K(x)
> ermittelt und dann eingesetzt

Besser: y = [mm]\bruch{1}{1 - A*e^{x/2}}[/mm].

Und jetzt noch die Singularitäten...

Bezug
                                
Bezug
Allgemeine lsg berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:29 Sa 16.05.2015
Autor: C11H15NO2

ja ok das habe ich nun auch raus.
aber was mit singularitäten gemeint ist weißt ich nicht.

das ist doch eine homogene gleichung, da die eine seite = 0 ist.
und somit gibt es nur eine homogene lösung (=singuläre lösung).
oder irre ich mich da?

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Bezug
Allgemeine lsg berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:34 Sa 16.05.2015
Autor: leduart

Hallo
es ist keine hom. lineare Gl. was ist mit der Lösung y=0 für jeden AW [mm] y(x_0)=0? [/mm] (du hast ja ^/y gebildet, das geht nur für [mm] y\neq0 [/mm]
Gruss ledum

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