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Affine Drehachse bestimmen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 02:34 So 31.01.2016
Autor: Raspery21

Aufgabe
Betrachten Sie folgende Abbildung des 3-dimensionalen euklidischen affinen Raumes [mm] $\IR^3$, [/mm] und entscheiden Sie um welche Art von Abbildung es sich handelt.
Bestimmen Sie auch die wichtigsten Bestandteile wie ggf. Drehachsen, Translationsvektoren, Spieglungsachsen etc.

[mm] $\varphi\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=\begin{pmatrix}\frac{2}{7}x_{1}+\frac{3}{7}x_{2}+\frac{6}{7}x_{3}+1\\ \frac{3}{7}x_{1}-\frac{6}{7}x_{2}+\frac{2}{7}x_{3}+9\\ \frac{6}{7}x_{1}+\frac{2}{7}x_{2}-\frac{3}{7}x_{3}+3 \end{pmatrix}$ [/mm]





Okay ich bin nun wie folgt vorgegangen:

[mm] $\varphi\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=\begin{pmatrix}\frac{2}{7} & \frac{3}{7} & \frac{6}{7}\\ \frac{3}{7} & -\frac{6}{7} & \frac{2}{7}\\ \frac{6}{7} & \frac{2}{7} & -\frac{3}{7} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\ 9\\ 3 \end{pmatrix}$ [/mm]

Bezeichnet man die Spalte der Matrix A mit [mm] $v_1,v_2,v_3$ [/mm] gilt:

[mm] $\|v_1\|=\|v_2\|=\|v_3\|=1$ [/mm] und [mm] $v_1\cdot v_2=0, v_1\cdot v_2=0$, $v_2\cdot v_3=0 \Rightarrow v_1,v_2,v_3$ [/mm] bilden Orthonormalbasis [mm] $\Leftrightarrow A^T=A^{-1}$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow \overrightarrow{\varphi}\in [/mm] O(V)$

$ [mm] \Rightarrow \varphi \in [/mm] Isom(X)$

[mm] \underline{\text{Fixpunkte}}: [/mm]

[mm] $(\overrightarrow{\varphi}-id)(x_1,x_2,x_3)=-b$, [/mm] wobei [mm] $b:=(1,9,3)^T$ [/mm]


[mm] $\begin{pmatrix}\frac{2}{7} & \frac{3}{7} & \frac{6}{7} & 1\\ \frac{3}{7} & -\frac{6}{7} & \frac{2}{7} & 9\\ \frac{6}{7} & \frac{2}{7} & -\frac{3}{7} & 3 \end{pmatrix}\rightsquigarrow....\rightsquigarrow\begin{pmatrix}1 & 5 & -4 & -21\\ 0 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -112 \end{pmatrix}$ [/mm]    (Anmerkung: Bei dem LGS bin ich mir relativ sicher, ich erspare mir mal das komplett aufzuschreiben).

[mm] $\Rightarrow Fix(\varphi)=\emptyset$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow \varphi$ [/mm] ist Translation, Gleitspieglung oder Schraubung.

Aus [mm] $\overrightarrow{\varphi}\not= [/mm] id [mm] \Rightarrow \varphi$ [/mm] ist keine Translation.

Berechnung von [mm] $(\overrightarrow{\varphi}-id)(x_1,x_2,x_3)=0$: [/mm]

Endresultat:

[mm] $\begin{pmatrix}1 & 0 & -\frac{3}{2}\\ 0 & 1 & -\frac{1}{2}\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow D=\left\langle \begin{pmatrix}\frac{3}{2}\\ \frac{1}{2}\\ 1\end{pmatrix}\right\rangle [/mm]  (Anmerkung: Mit D haben wir immer die lineare Drehachse bezeichnet, aber wegen [mm] (\star) [/mm] fand ich die Wahl direkt passend. Keine Ahnung ob man das evtl. anders aufschreiben müsste).

[mm] $(\star)$ [/mm] Aufgrund von [mm] $\dim(D)=1\Rightarrow \varphi$ [/mm] ist Schraubung.

Okay wir haben also eine Schraubung.

[mm] \underline{\text{Bestimmung des Drehwinkels}}: [/mm]

[mm] $cos(\Theta)=\frac{1}{2}\cdot (tr(A)-1)=\frac{1}{2}\cdot (\frac{2}{7}-\frac{6}{7}-\frac{3}{7}-1)= [/mm] -1$

[mm] $\Rightarrow \Theta=\pm \pi \mod 2\pi$ [/mm]

[mm] \underline{\text{Bestimmung des Translationsvektors}}: [/mm]

Zweimaliges drehen entspricht einer Drehung um [mm] 2\pi. [/mm]
Also kann man den Translationsvektor $v$ folgendermaßen berechnen:

[mm] $v=\frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{B\varphi^{2}\left(B\right)}$ [/mm]

Wähle B=(0,0,0), dann ist

[mm] \varphi^2(0,0,0)=\begin{pmatrix}\frac{54}{7}\\ \frac{18}{7}\\ \frac{36}{7} \end{pmatrix} [/mm]


[mm] \Rightarrow v=\begin{pmatrix}\frac{54}{14}\\ \frac{18}{14}\\ \frac{36}{14} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{27}{7}\\ \frac{9}{7}\\ \frac{18}{7} \end{pmatrix} [/mm]

[mm] \underline{\text{So nun zu meinem Problem}}. [/mm] Ich muss nun noch die affine Drehachse [mm] $\matfrak{D}$ [/mm] bestimmen. Dazu benötige ich einen Punkt auf meiner Affinen drehachse. Meine überlegung dazu sieht folgendermaßen aus. Ich drehe hier um 180° und dann verschiebe ich den Punkt um $v$.

Wenn ich nun die Translation aufhebe, erhalte ich einen Punkt $A'$.

Also [mm] $A'=\varphi(A)-v$. [/mm]

Als nächstes habe ich den Bisektor zwischen $A$ und $A'$ gebildet:

[mm] \frac{1}{2}\cdot\left[\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-\frac{20}{7}\\ \frac{54}{7}\\ \frac{3}{7} \end{pmatrix}\right]=\begin{pmatrix}-\frac{20}{14}\\ \frac{54}{14}\\ \frac{3}{14} \end{pmatrix} [/mm]

[mm] $\Rightarrow \matfrak{D}=\left\{ \vektor{-\frac{20}{14} \\ \frac{54}{14} \\ \frac{3}{14}} + \left\langle \vektor{\frac{3}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 1} \right\rangle \right\} [/mm]  $

Stimmt das so? Wenn nein, wie kann ich meine affine Drehachse bestimmen? Das geht mit meiner vorgehensweise wenn überhaupt auch nur mit dem Drehwinkel [mm] \pi. [/mm] Was mache ich wenn ich andere Winkel habe?

Mit freundlichen grüßen
Raspery21.




        
Bezug
Affine Drehachse bestimmen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 03:20 Di 02.02.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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