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Forum "Folgen und Reihen" - Absolut konvergente Reihe
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Absolut konvergente Reihe: Verständnis-Frage zum Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:04 Mo 05.06.2017
Autor: Gina2013

Aufgabe
Die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_{k}b_{k} [/mm] ist absolut konvergent, wenn die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(b_{k}-b_{k+1} [/mm] absolut konvergent ist und die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\intfy}a_{k} [/mm] wenigstens bedingt konvergent ist.

Diesen Satz ist so bewiesen:
da [mm] A_{k}=\summe_{i=1}^{k}a_{i} [/mm] sicher beschränkt ist,
konvergiert auf Grund der Voraussetzungen und nach dem Satz:" Wenn [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n} [/mm] absolut kvgte Reihe und bilden die Faktoren [mm] b_{n} [/mm] eine beschränkte Zahlenfolge, so ist auch die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n}b_{n} [/mm] absolut konvergent":
auch [mm] \summe_{k=1}^{\infty}A_{k}(b_{k}-b_{k+1}). [/mm]
Und weil [mm] (b_{0}-b_{1})+(b_{1}-b_{2})+....+(b_{n-1}-b_{n})=b_{0}-b_{n} [/mm] für n gegen [mm] \infty [/mm] gegen einen GW strebt, so ist lim [mm] b_{n} [/mm] vorhanden; wegen der vorausgesetzten Existenz von lim [mm] A_{n} [/mm] ist also auch lim [mm] A_{n}b_{n+1} [/mm] vorhanden (Abelsche partielle Summation).
Mir ist nicht ganz klar, warum [mm] b_{n} [/mm] konvergiert? Ich hätte aus der absolute Konvergenz die bedingte Konvergenz gefolgert, aber weiß nicht wie man das richtig aufschreibt und ob ich überhaupt den richtigen Ansatz habe?
Für jede Hilfe wäre ich sehr dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.

        
Bezug
Absolut konvergente Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:03 Mo 05.06.2017
Autor: andyv

Hallo

Die Folge [mm] $(B_n)$ [/mm] mit [mm] $B_n:=\sum_{k=1}^n (b_k-b_{k+1})=b_1-b_{n+1}$ [/mm] konvergiert nach Voraussetzung. Also konvergiert auch [mm] $(b_n)$. [/mm]

Gruß

Bezug
        
Bezug
Absolut konvergente Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:23 Mo 05.06.2017
Autor: Gina2013

Vielen Dank, ich dachte mir schon, dass es einfach ist, als ich gedacht habe:)
Eine andere Frage habe ich noch, wenn [mm] b_k [/mm] gegen 0 strebt und die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_k [/mm] beschränkte Teilsummen hat.
Mein Ansatz: [mm] b_k [/mm] ist konvergent und wie zeige ich dass die beschränkte Summen monoton sind, damit ich auch auf die Konvergenz kommen kann?
Oder brauche ich das gar nicht, sondern nach dem obigen Satz, folgt die Behauptung?
Ich wäre sehr dankbar für die weitere Hilfe.
Gruß Gina


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Bezug
Absolut konvergente Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:48 Mo 05.06.2017
Autor: andyv

$ [mm] (A_{n}b_{n+1}) [/mm] $ ist konvergent, da [mm] (b_n) [/mm] konvergent und [mm] $(A_n)$ [/mm] beschränkt ist.
Ebenso ist [mm] $\sum_{k=1}^{\infty}A_{k}(b_{k}-b_{k+1}) [/mm] (absolut) konvergent.
Mit Abelscher Summation folgt schliesslich die (absolute) Konvergenz von  [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_{k}b_{k} [/mm]

Gruss


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Bezug
Absolut konvergente Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:14 Mo 05.06.2017
Autor: Gina2013

hallo alle zusammen,
eine Frage habe ich noch, verstehe nicht ganz wie man auf  [mm] (A_{n}b_{n+1}) [/mm] ?
Ich weiß nicht, warum bei b  der Index größer ist?
Gruß Gina


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Bezug
Absolut konvergente Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:16 Di 06.06.2017
Autor: andyv

Genauer brauchst du die Konvergenz von [mm] $(A_{n}b_{n})$, [/mm] da  [mm] $\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}=A_{n}b_{n}+\sum _{k=1}^{n-1}A_{k}(b_{k}-b_{k+1})$. [/mm]


Gruss

Bezug
                
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Absolut konvergente Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:25 Mo 05.06.2017
Autor: Gina2013

Super! Vielen Dank noch mal!
Ich denke wahrscheinlich zu kompliziert, dass ich einfachen Sachen übersehe.
Viele Grüße
Gina

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