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Forum "Topologie und Geometrie" - Abbildungsgrad, Windungszahl
Abbildungsgrad, Windungszahl < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Abbildungsgrad, Windungszahl: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 18:39 So 12.06.2016
Autor: impliziteFunktion

Aufgabe
Für jede stetige Abbildung [mm] $f:S^1\to S^1$ [/mm] mit $f(1)=1$ definieren wir den Abbildungsgrad $deg(f)$ als die Windungszahl des Weges [mm] $f\circ w_1$. [/mm]

Zeige:

a) [mm] $def(f\circ w_1)=n\Leftrightarrow f\circ w_1\sim w_n$ [/mm]

b) Ist $deg(f)=1$, so ist $f$ homotop zur Identität.

c) Sind $f,g$ stetige Abbildungen mit $f(1)=g(1)=1$, so ist

[mm] $deg(f\circ [/mm] g)=deg(f)deg(g)$

Hallo,

ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.

Erstmal zu a):

Ich bin mir nicht sicher, was mit [mm] $w_n$ [/mm] gemeint ist.

[mm] $deg(f)=n=W(f\circ w_1)=\overline{f\circ w_1}(1)-\overline{f\circ w_1}(0)=n$ [/mm]

Wobei [mm] $f\circ w_1$ [/mm] ein Weg in [mm] $S^1$ [/mm] ist mit [mm] $(f\circ w_1)(0)=p(t) [/mm]

[mm] $p:\mathbb{R}\to S^1$, $t\mapsto e^{2\pi it}$, [/mm] dann [mm] $\overline{(f\circ w_1)} [/mm] mit [mm] $p\circ \overline{(f\circ w_1)}=f\circ w_1$ [/mm] und [mm] $\overline{f\circ w_1}(0)=t. [/mm]

Aber was genau für Wege sind nun [mm] $w_1$ [/mm] und [mm] $w_n$? [/mm]

Weiß da jemand von euch weiter und kann dies klären?
Vielen Dank im voraus.

        
Bezug
Abbildungsgrad, Windungszahl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:56 Mi 15.06.2016
Autor: Ladon

Es wäre hilfreich, wenn du sagen könntest, was [mm] $w_1$ [/mm] und [mm] $w_n$ [/mm] ist.

Ad b):
[mm] $\deg(f)=1$ [/mm] folgt [mm] $f_\ast:H_1(S^1,\IZ)\to H_1(S^1,\IZ)$ [/mm] ist von der Form [mm] $f_\ast[\alpha]=[1\cdot \alpha]=[\alpha]$, [/mm] d.h. [mm] $f_\ast$ [/mm] ist [mm] $id_\ast$. [/mm] Wegen [mm] $[\alpha]=f_\ast[\alpha]=[f(\alpha)]$ [/mm] ist [mm] $f\simeq [/mm] id$.

Ad c):
[mm] $\deg(f\circ g)=\deg(f)\cdot \deg(g)$. [/mm]
Aus [mm] $(f\circ g)_\ast=f_\ast\circ g_\ast$ [/mm] und [mm] $(f\circ g)_\ast(\alpha)=\deg(f\circ g)\alpha$ [/mm] sowie [mm] $f_\ast((g_\ast(\alpha))=f_\ast(\deg(g)\alpha)=\deg(f)\deg(g)\alpha$ [/mm] folgt die Behauptung.


Bezug
                
Bezug
Abbildungsgrad, Windungszahl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:47 Mi 15.06.2016
Autor: impliziteFunktion

Vielen Dank für deine Antwort.
Zu der Bedeutung von [mm] w_1 [/mm] und [mm] w_n [/mm] bin ich mir leider selbst im unklaren. Aber ich vermute, dass

[mm] $w_n: t\mapsto e^{2\pi int}$ [/mm]

gemeint ist. Dies sollte ein, zu der von dir zitierten Definition, äquivalente Abbildung sein.


Edit: > $ [mm] \deg(f)=1 [/mm] $ folgt $ [mm] f_\ast:H_1(S^1,\IZ)\to H_1(S^1,\IZ) [/mm] $

Bezeichnest du mit [mm] $H_1$ [/mm] die Fundamentalgruppe?
Wir haben die Fundamentalgruppe zu einem Basispunkt definiert, und nicht zu zwei Mengen. Also etwa [mm] $H_1(X,x)$ [/mm]

Du meinst mit [mm] $f_{\ast}$ [/mm] die Abbildung

[mm] $f_\{\ast}:H_1(X,x)\to H_1(Y, [/mm] f(x))$ wobei $f$ eine stetige Abbildung topologischer Räume ist und [mm] $x\in [/mm] X$

mit [mm] $[w]\mapsto [f\circ [/mm] w]$ und dies ist ein Gruppenhomomorphismus.

Bezug
                        
Bezug
Abbildungsgrad, Windungszahl: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:01 Mi 15.06.2016
Autor: Ladon

Hallo impliziteFunktion,

tut mir Leid, aber ich wusste nicht, dass dir die Definition der []Homologiegruppe [mm] $H_n(S^1,\IZ)$ [/mm] nicht bekannt ist. In der Tat steht die erste Homologiegruppe [mm] $H_1(S^1,\IZ)$ [/mm] mit der Fundamentalgruppe [mm] $\pi_1(S^1)$ [/mm] im Zusammenhang. Sie ist nämlich nach dem []Hurewicz Theorem gerade die Abelisierung der Fundamentalgruppe, d.h.
[mm] $$H_1(S^1)\cong \pi_1(S^1)/[\pi_1(S^1),\pi_1(S^1)].$$ [/mm]
Leider habe ich jetzt keine Zeit deine Frage noch mal genauer zu beantworten. Vielleicht werde ich mich morgen daran begeben, deine Frage mit der von dir gegbenen Definition des Grads zu beantworten. Meine Definition des Grads stammt aus Hatcher (S. 134).

Viele Grüße
Ladon

Bezug
                        
Bezug
Abbildungsgrad, Windungszahl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:43 Do 16.06.2016
Autor: Ladon


> Vielen Dank für deine Antwort.
>  Zu der Bedeutung von [mm]w_1[/mm] und [mm]w_n[/mm] bin ich mir leider selbst
> im unklaren. Aber ich vermute, dass
>  
> [mm]w_n: t\mapsto e^{2\pi int}[/mm]
>
> gemeint ist. Dies sollte ein, zu der von dir zitierten
> Definition, äquivalente Abbildung sein.

In der Tat.

Deine Definition
[mm] $$\mbox{Der Abbildungsgrad }deg(f) \mbox{ ist die Windungszahl des Weges } f\circ w_1.$$ [/mm]
sollte zu meiner Definition äquivalent sein:
[mm] $$\mbox{Die induzierte Abb. }f_\ast\colon H_1(S^1,\IZ)\cong\IZ\to \IZ\cong H_1(S^1,\IZ) \mbox{ ist ein Homomorphismus } \IZ\to\IZ \mbox{ und hat daher die Form }f_\ast(\alpha)=n\alpha,\mbox{ wobei wir definieren: }deg(f):=n.$$ [/mm]
Genauso kann man mit der dir bekannten Fundamentalgruppe und [mm] $f_\ast\colon\pi_1(S^1,1)\to\pi_1(S^1,1)$ [/mm] mit [mm] $f_\ast[w]=[f(w)]$ [/mm] obige Definition übernehmen, da in diesem Fall [mm] $\pi_1(S^1,1)\cong H_1(S^1,\IZ)$ [/mm] ist. Jetzt könntest du obige Beweise übernehmen, wenn du die Äquivalenz der Definitionen zeigst. Das ist aber ziemlich einfach, da die Schleife [mm] $w_1$ [/mm] Erzeuger von [mm] $\pi_1(S^1,1)$ [/mm] ist. Vielleicht kannst du mit diesen Argumenten im Sinn auch aus meinen obigen Beweisen etwas für einen Beweis mit deiner Definition ableiten.
Um etwas über die Richtigkeit deines Beweises zu a) auszusagen, müsste ich wissen, was $W(...)$ ist.
Hast du einmal a) gezeigt, kannst du sie für b) und c) nutzen.

Viele Grüße
Ladon

Bezug
                                
Bezug
Abbildungsgrad, Windungszahl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:21 Do 16.06.2016
Autor: impliziteFunktion

$W(w)$ ist die Windungszahl des Weges $w$.

[mm] $deg(f)=W(f\circ w_1):=\widetilde{(f\circ w_1)}(1)-\widetilde{(f\circ w_1)}(0)$ [/mm]

> Jetzt könntest du obige Beweise übernehmen, wenn du die Äquivalenz der Definitionen zeigst.

Die Äquivalenz welcher Definitionen? Ich kenne die Homologiegruppe ja bisher nicht.

Bezug
                                        
Bezug
Abbildungsgrad, Windungszahl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:35 Do 16.06.2016
Autor: Ladon

Ich habe geschrieben, dass du statt der Homologiegruppe auch die Fundamentalgruppe betrachten kannst, genauer die induzierte Abbildung [mm] $f_\ast [/mm] $ auf der Fundamentalgruppe.
Hier ein erster Tip: [mm] $\deg [/mm] (f)=1$ folgt [mm] $f\circ w_1\sim w_1$. [/mm] Was folgt daraus?

Liebe Grüße
Ladon

Bezug
                                                
Bezug
Abbildungsgrad, Windungszahl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:48 Do 16.06.2016
Autor: impliziteFunktion


> Hier ein erster Tip: $ [mm] \deg [/mm] (f)=1 $ folgt $ [mm] f\circ w_1\sim w_1 [/mm] $. Was folgt daraus?

[mm] $f\circ w_1\sim w_1$, [/mm] dann ist auch [mm] $f\circ w_1\sim id\circ w_1$, [/mm] also [mm] $f\sim [/mm] id$

Bezug
                                                        
Bezug
Abbildungsgrad, Windungszahl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:46 Do 16.06.2016
Autor: Ladon

Wenn dir der letzte Schritt aufgrund der Surjektivität von [mm] $w_1$ [/mm] klar ist, dann ist das in Ordnung.
Zu c):
Sei [mm] $\deg(f\circ g)=n_{ges}, \deg(f)=n_1,\deg(g)=n_2$. [/mm]
[mm] $$w_{n_{ges}}\sim (f\circ g)\circ w_1=f\circ (g\circ w_1)\sim f\circ w_{n_2}\sim w_{n_1\cdot n_2}$$ [/mm]
Den letzten Schritt und die Implikation musst du dir noch mal überlegen!

Viele Grüße
Ladon

Bezug
                                                                
Bezug
Abbildungsgrad, Windungszahl: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 21:48 Do 16.06.2016
Autor: impliziteFunktion


> Wenn dir der letzte Schritt aufgrund der Surjektivität von $ [mm] w_1 [/mm] $ klar ist, dann ist das in Ordnung.

Dann ist es mir wohl leider noch nicht klar, weshalb die surjektivität von [mm] $w_1$ [/mm] dafür verantwortlich ist.

zu c)

Leider weiß ich nicht wie die Argumentation fortzuführen ist. :(

Bezug
                                                                        
Bezug
Abbildungsgrad, Windungszahl: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:20 Sa 18.06.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Abbildungsgrad, Windungszahl: Tipp zur a)
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:02 Mi 15.06.2016
Autor: Ladon

Ich kann ja nur vermuten, was du mit [mm] $w_1, w_n$ [/mm] bezeichnest.
Eventuell meinst du das gleiche, wie []Hatcher in seinem Buch Algebraic Topology (S. 29).
Dort wird die Schleife [mm] $w_n(s)=(\cos(2\pi ns),\sin(2\pi [/mm] ns))$ definiert.

Bezug
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