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Forum "Lineare Abbildungen" - Abbildung auf linearität bewei
Abbildung auf linearität bewei < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Abbildung auf linearität bewei: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:37 Mo 22.06.2015
Autor: rsprsp

Aufgabe
Es seien die K-Vektorräume V und W, sowie die lineare Abbildung f : V → W gegeben. Zeigen Sie, dass die Abbildung:

f*: HomK(W, K) → HomK(V, K), φ [mm] \mapsto [/mm] φ ◦ f

linear ist.


Für alle φ aus Hom(W,K)
φ ° f aus Hom(V,K) ist.
Das liegt daran, dass beide linear sind.


f*(φ_{1}+φ_{2}) = f*(φ_{1}) + f*(φ_{2})  und   f*( [mm] \lambda [/mm] *φ) =  [mm] \lambda [/mm] *f*(φ)
sei en also φ_{1}, φ_{2} aus Hom(W,K)
dann ist für alle x aus V.

f*( φ_{1}+φ_{2}) (x) = (φ_{1}+φ_{2}) ( f(x)) nach Def. von f*
= φ_{1}(f(x)) + φ_{2}(f(x)) nach Def. von + für Abbildungen
= f*(φ_{1})(x) + f*(φ_{2}(x)) nach Def von f*
= (f*(φ_{1})+f*(φ_{2})) (x)
stimmt!

f*( [mm] \lambda [/mm] *φ) (x) = ( [mm] \lambda [/mm] *φ) ( f(x)) nach Def. von f*
=  [mm] \lambda [/mm] *φ(f(x)) nach Def. von * für Abbildungen
= f*( [mm] \lambda [/mm] *φ)(x) nach Def von f*
= (f* [mm] \lambda [/mm] *φ) (x)
stimmt!

Die Abbildung f*: HomK(W, K) → HomK(V, K), φ [mm] \mapsto [/mm] φ ◦ f ist linear!

Ist der Beweis richtig ?

        
Bezug
Abbildung auf linearität bewei: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:45 Mo 22.06.2015
Autor: fred97


> Es seien die K-Vektorräume V und W, sowie die lineare
> Abbildung f : V → W gegeben. Zeigen Sie, dass die
> Abbildung:
>  
> f*: HomK(W, K) → HomK(V, K), φ [mm]\mapsto[/mm] φ ◦ f
>  
> linear ist.
>  
> Für alle φ aus Hom(W,K)
> φ ° f aus Hom(V,K) ist.
> Das liegt daran, dass beide linear sind.
>
>
> f*(φ_{1}+φ_{2}) = f*(φ_{1}) + f*(φ_{2})  und   f*(
> [mm]\lambda[/mm] *φ) =  [mm]\lambda[/mm] *f*(φ)
> sei en also φ_{1}, φ_{2} aus Hom(W,K)
> dann ist für alle x aus V.
>
> f*( φ_{1}+φ_{2}) (x) = (φ_{1}+φ_{2}) ( f(x)) nach Def.
> von f*
> = φ_{1}(f(x)) + φ_{2}(f(x)) nach Def. von + für
> Abbildungen
> = f*(φ_{1})(x) + f*(φ_{2}(x)) nach Def von f*
> = (f*(φ_{1})+f*(φ_{2})) (x)
> stimmt!
>  
> f*( [mm]\lambda[/mm] *φ) (x) = ( [mm]\lambda[/mm] *φ) ( f(x)) nach Def. von
> f*
> =  [mm]\lambda[/mm] *φ(f(x)) nach Def. von * für Abbildungen
> = f*( [mm]\lambda[/mm] *φ)(x) nach Def von f*
> = (f* [mm]\lambda[/mm] *φ) (x)
> stimmt!
>  
> Die Abbildung f*: HomK(W, K) → HomK(V, K), φ [mm]\mapsto[/mm] φ
> ◦ f ist linear!
>  
> Ist der Beweis richtig ?

Ja

FRED


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