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| Aufgabe | | Sei U = {-3,-2,-1,0,1,2,3}. Bestimmen Sie f(U) : = {f(u) | uEU}, und bestimmen Sie die Menge der Urbilder der Elemente f(U). |
Oben abgebildet ist eine Aufgabe aus meinem Uniskript. Dort gibt es leider keine Beispielaufgabe.
Ich würde antworten f(u) =u. Die Urbildmenge ist dann u={uEU|(UEZ|-4<U<4)}
Wenn mein Ansatz schlecht oder falsch ist könnte mir bitte jemand posten wie man bei so einer Frage formal richtig antwortet.
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> Sei U = {-3,-2,-1,0,1,2,3}. Bestimmen Sie f(U) : = {f(u) |
> uEU}
Hallo,
man könnte Dir bei der Aufgabe etwas besser helfen, wenn Du mal sagen würdest, um welche Funktion f es hier gehen soll.
LG Angela
> und bestimmen Sie die Menge der Urbilder der Elemente
> f(U).
> Oben abgebildet ist eine Aufgabe aus meinem Uniskript.
> Dort gibt es leider keine Beispielaufgabe.
>
> Ich würde antworten f(u) =u. Die Urbildmenge ist dann
> u={uEU|(UEZ|-4<U<4)}
>
> Wenn mein Ansatz schlecht oder falsch ist könnte mir bitte
> jemand posten wie man bei so einer Frage formal richtig
> antwortet.
>
>
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> Sei U = {-3,-2,-1,0,1,2,3}. Bestimmen Sie f(U) : = {f(u) | uEU}, und bestimmen Sie die Menge der Urbilder der Elemente
> f(U).
> Oben abgebildet ist eine Aufgabe aus meinem Uniskript.
> Dort gibt es leider keine Beispielaufgabe.
>
> Ich würde antworten f(u) =u. Die Urbildmenge ist dann
> u={uEU|(UEZ|-4<U<4)}
>
> Wenn mein Ansatz schlecht oder falsch ist könnte mir bitte
> jemand posten wie man bei so einer Frage formal richtig
> antwortet.
>
>
Hallo,
wie gesagt bräuchten wir die Funktion, wenn wir Dir speziell bei dieser Aufgabe helfen sollen.
Ich mache jetzt mal ein Beispiel, anhand dessen Du Deine eigene Aufgabe wahrscheinlich lösen kannst:
wir betrachten
[mm] f:\IR\to \IR [/mm] mit
[mm] f(x):=x^2.
[/mm]
Es sei [mm] U:=\{-3, 3, 4\}.
[/mm]
f(U), das Bild von U unter der Abbildung f, ist definiert als [mm] f(U)=\{f(u)|u\in U\}.
[/mm]
Es ist die Menge, in der die Funktionswerte der Elemente aus U versammelt sind.
Also: [mm] f(U)=\{f(-3), f(3), f(4)\}=\{9, 16\}.
[/mm]
Nun zum Urbild.
Sei M eine Menge.
Das Urbild von M, [mm] f^{-1}(M) [/mm] enthält alle Elemente des Definitionsbereiches, welche auf Elemente aus M abgebildet werden.
Für [mm] M:=\{-5,0,1\} [/mm] ist [mm] f^{-1}(M)=\{0,-1,1\},
[/mm]
und es ist hier [mm] f^{-1}(f(U))=f^{-1}(\{9, 16\})=\{-4,-3,3,4\}.
[/mm]
Hieran siehst Du, daß [mm] f^{-1}(f(U)) [/mm] i.a. nicht dieselbe Menge ist wie U.
LG Angela
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Hallo Angela, danke für die Hinweise.
Ich habs probiert zu lösen. Könntest Du nochmal drüber schaun, bitte.
LG einstudent
> wie gesagt bräuchten wir die Funktion, wenn wir Dir
> speziell bei dieser Aufgabe helfen sollen.
Aufgabe
Sei [mm] {f}:\IZ\to\IZ [/mm] definiert durch [mm] {f}(z)=|z\z| [/mm] für alle [mm] {z\in\IZ}. [/mm]
Dabei ist [mm] |z\z|=z [/mm] falls [mm] z\ge0 [/mm] und [mm] |z\z|=-z [/mm] falls [mm] z\<<0.
[/mm]
1. Untersuchen Sie, ob [mm] {f}\: [/mm] surjektiv beziehungsweise injektiv ist.
2. Sei [mm] U\U [/mm] = [mm] \{-3,-2,-1,0,1,2,3\}. [/mm] Bestimmen Sie [mm] {f}(U):=\{f(u)|u\in{U}\}, [/mm] und bestimmen Sie die Menge der Urbilder der Elemente [mm] {f}{(U)}\. [/mm]
3. Sei [mm] V\V [/mm] = [mm] \{-10,-5,0,10,15\}. [/mm] Sei [mm] W\W [/mm] die Menge der Urbilder der Elemente in [mm] V\: [/mm] unter [mm] {f}\:. [/mm] Bestimmen Sie die Elemente in [mm] W\: [/mm] und in [mm] {f}(W):=\{f(u)|u\in{U}\}, [/mm]
Zu 2. müßte demnach die Menge der Bilder [mm] {f}(U)=\{0,1,2,3\} [/mm] sein.
Zu 3. müßte demnach die Menge der Bilder [mm] {f}(W)=\{0,10,15\} [/mm] sein.
Das Urbild zu 2.:
> Sei M eine Menge.
> Das Urbild von M, [mm] f^{-1}(M) [/mm] enthält alle Elemente des
> Definitionsbereiches, welche auf Elemente aus M abgebildet werden.
Für [mm] M:=\{0,1,2,3\} [/mm] ist [mm] f^{-1}(M)=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\},
[/mm]
Das Urbild zu 3.:
Sei [mm] W\W [/mm] die Menge der Urbilder der Elemente in [mm] V\: [/mm] unter [mm] {f}\:.
[/mm]
Für [mm] V:=\{0,10,15\} [/mm] ist [mm] f^{-1}(V)=W=\{-10,0,10,15\},
[/mm]
Zu 1. habe ich angenommen:
Die Abbildung ist surjektiv.
Es ist [mm] {f}(-z)=|-z\z|=-(-z)=z [/mm] .
Jedes [mm] {z\in\IZ} [/mm] besitzt mindestens ein Urbild unter [mm] {f}\:
[/mm]
Die Abbildung ist nicht injektiv,
Es ist [mm] {f}(-1)=|-1\1|=-(-1)=1
[/mm]
und [mm] {f}(1)=|1\1|=(1)=1.
[/mm]
-1 und 1 sind verschiedene Elemente in [mm] {\IZ} [/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:11 So 30.03.2014 | | Autor: | ne1 |
Hallo, bin zwar keine Angela.
1. Suriektivität: Kannst du ein $z$ finden, so dass $f(z) = -1$?
Injektivität: richtig.
2 sieht, meiner Meinung nach, richtig aus.
3. Wieso ist $-15$ kein Element von $W$?
> Hallo Angela, danke für die Hinweise.
>
> Ich habs probiert zu lösen. Könntest Du nochmal drüber
> schaun, bitte.
>
> LG einstudent
>
>
> > wie gesagt bräuchten wir die Funktion, wenn wir Dir
> > speziell bei dieser Aufgabe helfen sollen.
>
> Aufgabe
>
> Sei [mm]{f}:\IZ\to\IZ[/mm] definiert durch [mm]{f}(z)=|z\z|[/mm] für alle
> [mm]{z\in\IZ}.[/mm]
> Dabei ist [mm]|z\z|=z[/mm] falls [mm]z\ge0[/mm] und [mm]|z\z|=-z[/mm] falls [mm]z\<<0.[/mm]
>
> 1. Untersuchen Sie, ob [mm]{f}\:[/mm] surjektiv beziehungsweise
> injektiv ist.
>
> 2. Sei [mm]U\U[/mm] = [mm]\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}.[/mm] Bestimmen Sie
> [mm]{f}(U):=\{f(u)|u\in{U}\},[/mm] und bestimmen Sie die Menge der
> Urbilder der Elemente [mm]{f}{(U)}\.[/mm]
>
> 3. Sei [mm]V\V[/mm] = [mm]\{-10,-5,0,10,15\}.[/mm] Sei [mm]W\W[/mm] die Menge der
> Urbilder der Elemente in [mm]V\:[/mm] unter [mm]{f}\:.[/mm] Bestimmen Sie die
> Elemente in [mm]W\:[/mm] und in [mm]{f}(W):=\{f(u)|u\in{U}\},[/mm]
>
>
> Zu 2. müßte demnach die Menge der Bilder
> [mm]{f}(U)=\{0,1,2,3\}[/mm] sein.
> Zu 3. müßte demnach die Menge der Bilder
> [mm]{f}(W)=\{0,10,15\}[/mm] sein.
>
>
> Das Urbild zu 2.:
> > Sei M eine Menge.
> > Das Urbild von M, [mm]f^{-1}(M)[/mm] enthält alle Elemente des
> > Definitionsbereiches, welche auf Elemente aus M abgebildet
> werden.
> Für [mm]M:=\{0,1,2,3\}[/mm] ist [mm]f^{-1}(M)=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\},[/mm]
>
>
> Das Urbild zu 3.:
> Sei [mm]W\W[/mm] die Menge der Urbilder der Elemente in [mm]V\:[/mm] unter
> [mm]{f}\:.[/mm]
> Für [mm]V:=\{0,10,15\}[/mm] ist [mm]f^{-1}(V)=W=\{-10,0,10,15\},[/mm]
>
>
> Zu 1. habe ich angenommen:
>
> Die Abbildung ist surjektiv.
> Es ist [mm]{f}(-z)=|-z\z|=-(-z)=z[/mm] .
> Jedes [mm]{z\in\IZ}[/mm] besitzt mindestens ein Urbild unter [mm]{f}\:[/mm]
>
> Die Abbildung ist nicht injektiv,
> Es ist [mm]{f}(-1)=|-1\1|=-(-1)=1[/mm]
> und [mm]{f}(1)=|1\1|=(1)=1.[/mm]
>
> -1 und 1 sind verschiedene Elemente in [mm]{\IZ}[/mm]
>
>
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> 1. Suriektivität: Kannst du ein [mm]z[/mm] finden, so dass [mm]f(z) = -1[/mm]?
>
> Injektivität: richtig.
[mm]f(z) = -1[/mm] ist kein Bild von [mm] {f}(z)=|z\z| [/mm] . Bei Surjektivität wird jedem Bild mindestens ein Urbild zugeordnet. Die Urbilder von [mm]f(z) = 1[/mm] sind damit {-1,1}, oder?
[mm] {f}(z)=|z\z| [/mm] ist doch ganz ähnlich wie die surjektive [mm] {f}(z)=z^{2}.
[/mm]
???
> 3. Wieso ist [mm]-15[/mm] kein Element von [mm]W[/mm]?
Weil ich es übersehen habe. Vielen Dank ne1!
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> > 1. Suriektivität: Kannst du ein [mm]z[/mm] finden, so dass [mm]f(z) = -1[/mm]?
>
> [mm]f(z) = -1[/mm] ist kein Bild von [mm]{f}(z)=|z\z|[/mm] .
Hallo,
Du möchtest sicher sagen, daß es kein [mm] z\in\IR [/mm] gibt mit f(z)=-1.
> Bei
> Surjektivität wird jedem Bild mindestens ein Urbild
> zugeordnet.
Nein.
Jedes Element der Zielmenge wird mindestens einem Element des Definitionsbereiches zugeordnet.
> Die Urbilder von [mm]f(z) = 1[/mm] sind damit {-1,1},
> oder?
Es ist [mm] f^{-1}(1)=\{1,-1\}.
[/mm]
>
> [mm]{f}(z)=|z\z|[/mm] ist doch ganz ähnlich wie die surjektive
> [mm]{g}(z)=z^{2}.[/mm]
>
> ???
[mm] g:\IZ\to\IZ [/mm] mit
[mm] g(z):=z^2
[/mm]
ist nicht surjektiv.
Surjektiv ist
[mm] h:\IZ\to\IN_0 [/mm] mit
[mm] h(z):=z^2
[/mm]
LG Angela
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> > Bei
> > Surjektivität wird jedem Bild mindestens ein Urbild
> > zugeordnet.
>
> Nein.
> Jedes Element der Zielmenge wird mindestens einem Element
> des Definitionsbereiches zugeordnet.
Nur noch mal zum Verständnis:
Die Zielmenge sind die Bilder. Die diesen zugeordneten Elemente des Definitionsbereichs sind die Urbilder. Richtig?
> Surjektiv ist
>
> [mm]h:\IZ\to\IN_0[/mm] mit
> [mm]h(z):=z^2[/mm]
Surjektiv ist dann auch
[mm]h:\IZ\to\IN_0[/mm] mit
[mm] {f}(h)=|h\h|
[/mm]
Das stimmt jetzt hoffentlich
LG einstudent
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> > > Bei
> > > Surjektivität wird jedem Bild mindestens ein Urbild
> > > zugeordnet.
> >
> > Nein.
> > Jedes Element der Zielmenge wird mindestens einem
> Element
> > des Definitionsbereiches zugeordnet.
>
> Nur noch mal zum Verständnis:
> Die Zielmenge sind die Bilder. Die diesen zugeordneten
> Elemente des Definitionsbereichs sind die Urbilder.
> Richtig?
Hallo,
machen wir ein Beispiel.
Sei
[mm] N:=\{1,2,3\},
[/mm]
[mm] M:=\{5,6,7,8,9\},
[/mm]
und [mm] f:N\to [/mm] M mit
f(1):=5
f(2):=5
f(3):=6.
N ist der Definitionsbereich,
M die Zielmenge,
das Bild von N, f(N) ist [mm] f(N)=\{5,6\}.
[/mm]
[mm] f^{-1}(M)=N,
[/mm]
[mm] f^{-1}(\{5,6\})=N.
[/mm]
>
>
>
>
> > Surjektiv ist
> >
> > [mm]h:\IZ\to\IN_0[/mm] mit
> > [mm]h(z):=z^2[/mm]
>
>
> Surjektiv ist dann auch
>
> [mm]h:\IZ\to\IN_0[/mm] mit
> [mm]{f}(h)=|h\h|[/mm]
Ja.
LG Angela
>
> Das stimmt jetzt hoffentlich
>
> LG einstudent
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> Hallo,
>
> machen wir ein Beispiel.
>
> Sei
> [mm]N:=\{1,2,3\},[/mm]
> [mm]M:=\{5,6,7,8,9\},[/mm]
>
> und [mm]f:N\to[/mm] M mit
> f(1):=5
> f(2):=5
> f(3):=6.
>
> N ist der Definitionsbereich,
> M die Zielmenge,
> das Bild von N, f(N) ist [mm]f(N)=\{5,6\}.[/mm]
>
> [mm]f^{-1}(M)=N,[/mm]
> [mm]f^{-1}(\{5,6\})=N.[/mm]
>
>
Danke für das Beispiel Angela.
Deine Abbildung müßte surjektiv sein.
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Hallo,
> > Hallo,
> >
> > machen wir ein Beispiel.
> >
> > Sei
> > [mm]N:=\{1,2,3\},[/mm]
> > [mm]M:=\{5,6,7,8,9\},[/mm]
> >
> > und [mm]f:N\to[/mm] M mit
> > f(1):=5
> > f(2):=5
> > f(3):=6.
> >
> > N ist der Definitionsbereich,
> > M die Zielmenge,
> > das Bild von N, f(N) ist [mm]f(N)=\{5,6\}.[/mm]
> >
> > [mm]f^{-1}(M)=N,[/mm]
> > [mm]f^{-1}(\{5,6\})=N.[/mm]
> >
> >
>
> Danke für das Beispiel Angela.
>
> Deine Abbildung müßte surjektiv sein.
Nein, wie das?
Es müsste dann zu jedem [mm]m\in M[/mm] ein [mm]n\in N[/mm] geben mit [mm]f(n)=m[/mm]
Wie sieht es denn mit [mm]m=7[/mm] (oder [mm]m=8, m=9[/mm]) aus?
Welches [mm]n\in N[/mm] wird darauf abgebildet?
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:04 Sa 05.04.2014 | | Autor: | einstudent |
Die Abbildungen werden mir nach Angelas Beispielen und Deiner Vertiefung schachuzipus allmählich klar.
Vielen Dank für Eure Hilfe und Geduld.
LG einstudent
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