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2-Punkt RWP: Aufgabe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:52 Mo 04.12.2017
Autor: xcase

Aufgabe
Es soll das folgende RWP betrachtet werden:
[mm] \begin{cases} (2-x^{2})u''(x) - x*u'(x) + 16*u(x) = 0, x \in (-1,1) \\ u(-1) =-\bruch{1}{2}, u'(1) = \beta. \end{cases} [/mm]

Bestimme [mm] \beta \in \IR [/mm] , so dass die Lösung ein Polynom 4. Ordnung in x ist, und bestimmte die Lösung für dieses [mm] \beta. [/mm]

Ich frage erst einmal nach einem sinnvollen Ansatz. Wenn ich ein allgemeines Polynom 4. Grades aufschreibe und die beiden RB'n einsetze, bekomme ich 5 Koeffizienten, habe aber nur 2 Gleichungen. Das kann ich damit also nicht lösen.

Ich hatte überlegt das über eine LaPlace-Transformation zu lösen, allerdings brauche ich doch für die Ableitungstherme jeweils f(0) bzw. f'(0), die ich nicht gegeben habe.

Bitte um Rat! Vielen Dank für jegliche Hilfe

        
Bezug
2-Punkt RWP: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:28 Mo 04.12.2017
Autor: Al-Chwarizmi


> Es soll das folgende RWP betrachtet werden:
>  [mm]\begin{cases} (2-x^{2})u''(x) - x*u'(x) + 16*u(x) = 0, x \in (-1,1) \\ u(-1) =-\bruch{1}{2}, u'(1) = \beta. \end{cases}[/mm]
>  
> Bestimme [mm]\beta \in \IR[/mm] , so dass die Lösung ein Polynom 4.
> Ordnung in x ist, und bestimmte die Lösung für dieses
> [mm]\beta.[/mm]
>  Ich frage erst einmal nach einem sinnvollen Ansatz. Wenn
> ich ein allgemeines Polynom 4. Grades aufschreibe und die
> beiden RB'n einsetze, bekomme ich 5 Koeffizienten, habe
> aber nur 2 Gleichungen. Das kann ich damit also nicht
> lösen.
>
> Ich hatte überlegt das über eine LaPlace-Transformation
> zu lösen, allerdings brauche ich doch für die
> Ableitungstherme jeweils f(0) bzw. f'(0), die ich nicht
> gegeben habe.


Hallo xcase,

wenn du zur Bestimmung von 5 Koeffizienten nur 2
Bedingungen (in Gleichungsform) hast, bedeutet dies
doch keineswegs, dass es keine Lösung geben kann.
Vielleicht gibt es da im Gegenteil eine ziemlich große
Wahlfreiheit und damit eine Vielfalt von Lösungen.

Allerdings bezweifle ich (ohne schon gerechnet zu haben),
dass es wirklich nur 2 Gleichungen gibt ...

LG ,   Al-Chw.

Bezug
                
Bezug
2-Punkt RWP: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:47 Mo 04.12.2017
Autor: leduart

Hallo
ausser en 2 Punkten muss das Polynom doch auch die Dgl erfüllen?
Gruß leduart

Bezug
        
Bezug
2-Punkt RWP: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:53 Mo 04.12.2017
Autor: Al-Chwarizmi


> Es soll das folgende RWP betrachtet werden:
>  [mm]\begin{cases} (2-x^{2})u''(x) - x*u'(x) + 16*u(x) = 0, x \in (-1,1) \\ u(-1) =-\bruch{1}{2}, u'(1) = \beta. \end{cases}[/mm]
>  
> Bestimme [mm]\beta \in \IR[/mm] , so dass die Lösung ein Polynom 4.
> Ordnung in x ist, und bestimmte die Lösung für dieses
> [mm]\beta.[/mm]
>  Ich frage erst einmal nach einem sinnvollen Ansatz. Wenn
> ich ein allgemeines Polynom 4. Grades aufschreibe und die
> beiden RB'n einsetze, bekomme ich 5 Koeffizienten, habe
> aber nur 2 Gleichungen. Das kann ich damit also nicht
> lösen.


Die erste Gleichung  (die Differentialgleichung), die auch
erfüllt sein soll, ist vermutlich viel aussagekräftiger, als
du gedacht hast. Da soll ja eine gewisse Funktion, die
man aus der Polynomfunktion  u(x)  und ihren ersten
beiden Ableitungen produziert (das Ergebnis ist wieder
eine gewisse Funktion 4. Grades) auf einem gesamten
Intervall (und nicht etwa bloß an einzelnen Stellen)
identisch verschwinden. Daraus lassen sich einige
Gleichungen für die Koeffizienten herleiten.
Die Lösung ist übrigens wirklich "schön" ...

LG ,   Al-Chwarizmi

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2-Punkt RWP: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:29 Mo 04.12.2017
Autor: xcase

Ah ja okey. Das hab ich dann wohl "überlesen". Was ich jetzt gemacht habe:
Die beiden RB'n eingesetzt plus die Punkte [mm] -\bruch{1}{2}, [/mm] 0 und [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ausgewertet. x=0 gibt mir schonmal e=0, wenn das Polynom folgendermaßen aufgebaut ist:
u(x) = [mm] a*x^{4} [/mm] + [mm] b*x^{3} [/mm] + [mm] c*x^{2} [/mm] + d*x + e

Dann habe ich ja quasi 4 restliche Gleichungen mit 4 Unbekannten. Löß ich das jetzt einfach mit Gauß oder seh ich vielleicht wieder nicht die "offensichtliche" Forderung für [mm] \beta [/mm] ? Weil ich hab das eben mal durchgerechnet und für a kommt bei mir irgendwie a = [mm] \bruch{70*\beta - 875}{410} [/mm] heraus, was mir eher nach Unfug aussieht? Da könnt ich ja [mm] \beta [/mm] fast egal wie wählen (hauptsache a ist  [mm] \not= [/mm] 0)

Beste Grüße

Bezug
                        
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2-Punkt RWP: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:03 Di 05.12.2017
Autor: donquijote

Hallo,
bevor du über die Randbedingungen nachdenkst, solltest du erstmal deine Ansatzfunktion in die DGL einsetzen.  Wenn du das gemacht hast, bleibt nur noch eine Unbekannte übrig, die dann durch die Randbedingung festgelegt werden kann.

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2-Punkt RWP: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:41 Di 05.12.2017
Autor: xcase

Hm, also ich stell mich gerade echt dumm an, aber bei mir kürzt sich da nichts raus wenn ich diesen Ansatz hier:

u(x) = [mm] a*x^{4} [/mm] + [mm] b*x^{3} [/mm] + [mm] c*x^{2} [/mm] + d*x + e
mit u'(x) = [mm] 4ax^{3} [/mm] + [mm] 3bx^{2} [/mm] + 2cx + d
und u''(x) = [mm] 12ax^{2} [/mm] + 6bx + 2c

in die obige DGL einsetze. Was bei mir am Ende übrig bleibt ist das hier:
[mm] 7bx^{3} [/mm] + [mm] x^{2}(24a [/mm] + 12c) + x(12b + 15d) + (4c + 16e) = 0.

Liegt der Fehler etwa schon beim Ansatz?

Bezug
                                        
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2-Punkt RWP: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:59 Di 05.12.2017
Autor: fred97


> Hm, also ich stell mich gerade echt dumm an, aber bei mir
> kürzt sich da nichts raus wenn ich diesen Ansatz hier:
>  
> u(x) = [mm]a*x^{4}[/mm] + [mm]b*x^{3}[/mm] + [mm]c*x^{2}[/mm] + d*x + e
>  mit u'(x) = [mm]4ax^{3}[/mm] + [mm]3bx^{2}[/mm] + 2cx + d
>  und u''(x) = [mm]12ax^{2}[/mm] + 6bx + 2c
>  
> in die obige DGL einsetze. Was bei mir am Ende übrig
> bleibt ist das hier:
>  [mm]7bx^{3}[/mm] + [mm]x^{2}(24a[/mm] + 12c) + x(12b + 15d) + (4c + 16e) =
> 0.


Ich habs nicht nachgerechnet.

Wenn es stimmt,so folgt doch:

b=0, 24a+12c=0, 12b+15d=0 und 4c+16e=0

und daraus b=d=0, c=-2a und e=a/2.


>  
> Liegt der Fehler etwa schon beim Ansatz?


Bezug
                                                
Bezug
2-Punkt RWP: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:21 Di 05.12.2017
Autor: xcase

Oh mein Gott! Ich war so fixiert irgendwelche Werte immer auszuprobieren, so dass mir der simpelste Rechenschritt schwer viel. Vielen Dank ^^

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